下記のJavascriptをBackground Scriptsに書くだけ。
chrome.browserAction.onClicked.addListener(function(tab) {
// ここにアクションを書く
});
Chromeの開発について概要を知りたい方はこちらの記事を見るのがオススメ。
https://qiita.com/M_Kagawa/items/539d7597536ec90b1bc6
参考URL
https://developer.chrome.com/extensions/browserAction#event-onClicked